【笔记】数和序列

前置知识

极端原理

每个非空的正整数集合都有一个最小元。

每个非空的负整数集合都有一个最大元。

有理数和无理数

如果存在整数 ,使得 ,则称实数 是有理数,否则 是无理数。

取整 & 取小

定义 是满足 的整数,而

丢番图逼近(狄利克雷逼近定理)

如果 是一个实数, 是一个正整数,则存在整数 ,使得 . 即:

证明

  • 考虑 ,( 表示取小),有 .

  • 上分布着 个实数,则必有 .(抽屉原理)

  • (将 构造为 ).

序列

序列 是一列数 .

等比数列

  • 形如 的序列.
  • .

可数

一个集合 可数,有两种情况:

  1. 是有限集合
  2. 正整数集合之间存在一一映射.

有理数集 Q

可数.

证明

构造矩阵

即:

斜着(左下到右上)枚举矩阵中的数,即可一一映射到整数集合中。

习题

习题 1

【证明】如果 为正整数,则当 为实数时, .

是以 为周期的函数.

.

综上, . 即 .

习题 2

【程序设计】给定一个实数 ,求有理数 使得 .

.

.

.

习题 3

对于整数集合 ,满足:

  • S 中既有正整数又有负整数
  • .

求证: .

由极端原理:

对于 ,必存在最小元,记为 ;对于 ,必存在最小元,记为 ;于是显然,

考虑

;因为 的最小元,所以 ;同理, ;所以 ,即

;因为 的最小元,所以 ;即 ;同理,

因此,

综上, .


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